Clear[A, B, B2, t, u]

retta per due punti: calcolare l'equazione parametrica di una retta per due punti e disegnarla. Se A=(0,0,1) e B=(1,1,1), allora il vettore da A a B e' (B-A), e la retta per A di direzione da A a B ha equazione in t: A+ t*(B-A).

A  = {0, 0, 1}
B = {1, 1, 1}
(B - A)
A + (B - A)*t

G1  = ParametricPlot3D[A + (B - A)*t, {t, -2, 2}]

piano per una retta e un punto.  calcolare l'equazione parametrica di un piano per una retta e un punto . Se A=(0,0,1) e B=(1,1,1), allora la retta per A, B ha equazione in t: A+ t*(B-A). Se aggiungiamo un terzo punto B2 = {0,-1,0}, il vettore da A verso B2 e' B2-A, e il piano che comprende sia la retta per A, B che il punto B2 ha equazione in t, u: A+ t*(B-A) + u*(B2-A).

A = {0, 0, 1}
B = {1, 1, 1}
(B - A)
A + (B - A)*t
B2 = {0, -1, 0}
(B2 - A)
A + (B - A)*t  +  (B2 - A)*u

G1  = 
      ParametricPlot3D[
        A + (B - A)*t, {t, -2, 2}]
G2  =  
      ParametricPlot3D[
        A + (B - A)*t  +  (B2 - A)*u, {t, -1, 1},  {u, -1, 
          1}]
Show[G1, G2]

piu' piani per una retta: data una retta, disegnare piu' piani per quella retta. Se A=(0,0,1) e B=(1,1,1), allora la retta per A, B ha equazione in t: A+ t*(B-A). Se aggiungiamo dei punti B2 = {0,-1,0}, B3={2,0,1}, ... che non appartengono alla retta, il vettore da A verso B2, B3, ...,  e' B2-A, B3-A, ... e i piani che comprendono sia la retta per A, B che i punti B2, B3, hanno equazione in t, u:  A+ t*(B-A) + u*(B2-A).

A = {0, 0, 1}
B = {1, 1, 1}
(B - A)
A + (B - A)*t
B2 = {0, -1, 0}
(B2 - A)
A + (B - A)*
        t  +  (B2 - A)*u 
B3 = {2, 0, -1}
(B3 - A)
A + (B - A)*t  +  (B3 - A)*u

G1  = 
      ParametricPlot3D[
        A + (B - A)*t, {t, -2, 2}]
G2  =  
      ParametricPlot3D[
        A + (B - A)*t  +  (B2 - A)*u, {t, -1, 1},  {u, -1, 
          1}]
G3  =  
      ParametricPlot3D[
        A + (B - A)*t  +  (B3 - A)*u, {t, -1, 1},  {u, -1, 
          1}]
Show[G1, G2, G3]

piano tangente ad una sfera: Disegnare una sfera di origine X={1,1,1}, e passante per un punto A. Disegnare il piano tangente alla sfera per A={0,0,1}. La sfera di raggio 1 e centro l'origine ha equazioni parametriche P =  {Cos[t]Cos[u],Sin[t]Cos[u],Sin[u]}. La sfera di centro X e raggio R ha equazioni parametriche X * R*P. Il piano e' determinato dal punto A e da due vettori qualunque V1, V2 ortogonali a A-O. E' sufficiente cercare due soluzioni V1, V2 dell'equazione (A-O).V = 0, dove V=(v1,v2,v3), quindi disegnare il piano di equazioni in t, u: A + t*V1 + u*V2.

X = {1, 1, 1}
A = {0, 0, 1}
R  = Sqrt[(X - A) . (X - A)]
V = {v1, v2, v3}
Reduce[(A - X) . V == 0, {v1, v2, v3}]

V1 = {0, 0, 1}
V2 = {1, -1, 0}
G1  =  
      ParametricPlot3D[
        A  +  V1*t  +  V2*u, {t, -1, 1},  {u, -1, 
          1}]
G2 = 
      ParametricPlot3D[
        X  + R* {Cos[t] Cos[u], Sin[t] Cos[u], Sin[u]}, {t, 0, 
          2  Pi}, {u, -Pi/2, Pi/2} ]
Show[G1, G2]

cilindro e cono: Disegnare un cilindro verticale di cerchio di base di centro X={1,2,3} e raggio R=1/2. Disegnare un doppio cono verticale di vertice X, e la cui sezione circolare di altezza z generica ha raggio R*(distanza tra l'altezza z e l'altezza di X). L'equzione parametrica del cilindro e' P ={Cos[t],Sin[t],u}, mentre quella del doppio cono e' P = {Cos[t]*u,Sin[t]*u,u}. Nel caso che il raggio sia R e il cenro X, l'equazione diventa X * {R,R,1}*P. La moltiplicazione per {R,R,1} rappresenta una dilatazione della superfice di un fattore R in tutte le direzioni tranne quella verticale.

R  =  1/2
G1  =  
      ParametricPlot3D[
        X + {R, R, 1}*{Cos[t], Sin[t], u}, {t, 0, 2  Pi}, {u, -1, 
          1}]
G2  =  
      ParametricPlot3D[
        X + {R, R, 1}*{Cos[t]*u, Sin[t]*u, u}, {t, 0, 2  Pi}, {u, -1, 
          1}]