*Il frattale di Von Koch

Introduciamo qui una delle prime figure autosimili scoperte, la prima ad apparire non banale. E' una linea K arricchita con con "punte" o "spine" in ogni punto del suo percorso. K è definita come segue: è simile a quattro copie di se stessa, , , , , ciascuna tre volte più corta di K. , sono disposte nel primo e nell'ultimo terzo della base di K. , , invece, sono entrambe disposte nel terzo di mezzo della base di K, in modo di formare una punta con angolo di 60 gradi (si veda il disegno sotto). Per autosomiglianza, questa punta al centro di K di ripeterà ovunque: in ognuna delle copie , , , di K, poi nelle copie di K in cui possiamo scomporre , , , , e così via. Il risultato finale è una curva infinitamente irta di punte piccole e piccolissime, sparse ovunque lungo il suo percorso.
Alla fine di questa sezione, stabiliremo che la dimensione della curva di Von Koch è (4) = 1.26186 ...., dunque tra 1 (la dimensione di una linea) e 2 (la dimensione di un quadrato).

Il Frattale di Von Koch, seconda definizione.

C'e' un altro modo di definire la Curva di Von Koch. Definiamo K come simile a due copie di se stessa, , , disposte lungo la base di K in modo da formare un triangolo di non grande altezza, e ribaltate rispetto a K. Questo ribaltamento farà sì che le punte su , siano disposte verso l'interno, anzichè verso l'esterno come in K. Sia che sono simili a K. Quindi e possono venire scomposte ciascuna in due copie di se stessa: , , e , . In , , e in , le punte di K saranno ribaltate una seconda volta: saranno ore disposte verso l'esterno. E così via: ad ogni passo, alternativamente, K si orna di punte che escono dalla curva oppure ne rientrano. Alla fine, curiosamente, queste punte si dispongono come nella prima definizione di K (anche se questo avverrà più lentamente, due volte più lentamente per l'esattezza).