La Lemniscata e la sua rotazione.

Iniziamo disegnando una curva dal nome singolare: la Lemniscata di Giacomo Bernouille. L'equazione di questa curva è -1 - 4 x^2 + (1 + x^2 + y^2)^2 = 0.
Dato che non si tratta di una funzione, la disegneremo usando il comando ImplicitPlot, preso dal pacchetto: << Graphics`ImplicitPlot`.

In[1]:=

<< Graphics`ImplicitPlot`

In[2]:=

ImplicitPlot[<br />     -1 - 4 x^2 + (1 + x^2 + y^2)^2 == 0, <br /> & ... sp;  ImageSize->600, <br />  AxesLabel-> {"X", "Y"}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_4.gif]

Out[2]=

⁃ContourGraphics⁃

Ruotiamo la Lemniscata attorno all'asse y, e disegnamo la curva risultante mediante un'equazione parametrica. Non spiegheremo in dettaglio come ottenere tale equazione.

In[3]:=

ParametricPlot3D[{Sin[t] Cos[u], Sin[u] Cos[u], Cos[u] Cos[t]}, {t, -Pi, Pi}, {u, -Pi/2, Pi/2},   AxesLabel-> {"X", "Y"}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_7.gif]

Out[3]=

⁃Graphics3D⁃

Disegnamo la sola parte sinistra della Lemniscata ruotata, per verificare che la sezione ha la forma della curva originaria.

In[4]:=

ParametricPlot3D[<br />     {Sin[t] Cos[u], Sin[u] Cos[u], Cos[u] Cos[t]}, ...  ImageSize->600,   AxesLabel-> {"X", "Y", "Z"}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_10.gif]

Out[4]=

⁃Graphics3D⁃

Ora eliminiamo la parte più interna della superficie (quella a forma di doppio imbuto, posta nella direzione dell'asse y). Il risultato è una forma tubolare adatta a rappresentare vari oggetti di uso quotidiano. Ecco per esempio il copertone di un'auto.

In[5]:=

ParametricPlot3D[{Sin[t] Cos[u], Sin[u] Cos[u], Cos[u] Cos[t]}, {t, -Pi, Pi}, {u, -Pi/3, Pi/3},   AxesLabel-> {"X", "Y", "Z"}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_13.gif]

Out[5]=

⁃Graphics3D⁃

La metà sinistra del copertone.

In[6]:=

ParametricPlot3D[{Sin[t] Cos[u], Sin[u] Cos[u], Cos[u] Cos[t]}, {t, -Pi, 0}, {u, -Pi/3, Pi/3}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_16.gif]

Out[6]=

⁃Graphics3D⁃

Allunghiamo di 4 volte la la curva originaria lungo l'asse y. Il risultato è una forma tubolare cava, dai bordi arrotondati, che utilizzeremo in vari modo nella costruzione del divano

In[7]:=

ParametricPlot3D[{Sin[t] Cos[u], 4Sin[u] Cos[u], Cos[u] Cos[t]}, {t, -Pi, Pi}, {u, -Pi/3, Pi/3},   AxesLabel-> {"X", "Y", "Z"}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_19.gif]

Out[7]=

⁃Graphics3D⁃

La metà sinistra del tubolare.

In[8]:=

ParametricPlot3D[{Sin[t] Cos[u], 4Sin[u] Cos[u], Cos[u] Cos[t]}, {t, -Pi, 0}, {u, -Pi/3, Pi/3},   AxesLabel-> {"X", "Y", "Z"}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_22.gif]

Out[8]=

⁃Graphics3D⁃

Created by Mathematica  (August 4, 2004)