Una strategia per vincere a testa e croce
(?possibile?)

Un paradosso dell'infinito

Denaro "dal nulla".

Catene di Sant'Antonio. I paradossi dell'infinito consentono di far "uscire dal nulla" quantità finite di denaro, in un modo che è insieme logicamente corretto e evidentemente impossibile. Cominciamo con un esempio semplice. Immaginiamo di avere una fila infinita di persone, numerate 1, 2, 3, ..., ciascuna con una moneta in tasca. Chiediamo alla prima di darci la sua moneta, ed ad ognuna delle seguenti di passare la propria moneta al precendente nella fila. Come risultato, noi abbiamo una moneta in più, mentre le persone in fila continuano ad averne una a testa, dato che ognuna di esse ha un successivo nella fila, ed ha quindi ricevuto una moneta. Ecco un esempio di paradosso dell'infinito, che consente di far uscire una moneta "dal nulla".

Questo paradosso non è difficile da smontare: non è possibile procurarci una fila infinita di persone, non più di quanto ci sia possibile creare denaro dal nulla. Nella realtà, la fila si interromperà ad un certo punto, e l'ultimo della fila darà una moneta senza riceverne nessuna. La moneta che abbiamo ricevuto noi è sua. Notiamo che questo paradosso è effettivamente usato, in una forma leggermente più elaborata, la cosiddetta Catena di Sant'Antonio. In questo caso la prima persona della Catena chiede una moneta ad altri due, questi due ad altri quattro, questi quattro ad altri otto e così via. Se la catena potesse proseguire all'infinito, il primo individuo nella catena guadagnerebbe due monete, e tutti i successivi una, in un arricchimento generale senza causa apparente. In realtà, dato che la Catena deve invece interrompersi ad un certo punto, gli ultimi perderanno tante monete quante ne avranno guadagnate i primi.

  Strategia d'attesa. Vediamo ora un esempio di paradosso dell'infinito più elaborato, e più difficile da spiegare. Non esistono strategie per vincere a testa e croce: indipendentemente dal numero di partite giocate, i due giocatori sono nelle stesse condizioni. Dunque hanno la stessa vincita media, necessariamente uguale a 0, dato che un guadagno dell'uno richiederebbe una perdita dell'altro.  Può sembrare tuttavia che esista una strategia vincente, di tipo molto generale, e usata infatti in molti giochi d'azzardo e da molti giocatori: uscire dal gioco nel primo istante in cui si passa in vantaggio nel numero di partite vinte. Dato che non ha nome, la chiameremo (solo per capirci tra noi) questa strategia la strategia di attesa.  Supponiamo che il secondo giocatore sia il banco e non possa rifiutarsi di giocare. E' intuitivo (ed è possibile dimostrare) che, con probabilità 1, arriverà il momento in cui il banco avrà vinto una partita di meno dell'avversario. Questo sembra confermare che la strategia di attesa sia vincente: il che, come si è detto, è impossibile. Notiamo che essa è comunque difficile da realizzare e poco produttiva: è difficile, umanamente, lasciare il gioco proprio quando si comincia ad essere in vantaggio. Inoltre può capitare di atterndere a lungo, e tutto questo per guadagnare una sola moneta. Ma qui non vogliamo limitarci ad osservare che la strategia di attesa è difficile da realizzare, vogliamo sottolineare che essa è un paradosso.

Il paradosso può essere ingigantito osservando che, se esiste una strategia che con probabilità 1 porta il primo giocatore in vantaggio di una partita, ripetendo questa strategia n volte, con n a piacere, il primo giocatore passerà in vantaggio di n partite!  Sembra (ma sembra solo) che esista un modo per far quanti soldi si vuole, magari lentamente; soldi che sembrano "uscire dal nulla", visto che il gioco di testa e croce è, mediamente, in parità.
Dovrebbe essere evidente (a meno di essere vittime dal demone del gioco) che questa strategia non funziona. Tuttavia, a differenza del caso precedente, la Catena di Sant'Antonio, spiegare perchè questa strategia non funziona non è affatto semplice. Noi ci proveremo con alcuni conti ed esempi. Anche la strategia di attesa risulterà una forma di paradosso dell'infinito.

Un paradosso spiegato.

Per capire cosa succede in realtà, prepariamo un programma che simuli una sequenza casuale di partite, e calcoli il tempo di attesa necessario perchè il primo giocatore passi in vantaggio di una partita. Ripetiamo la simulazione più volte e facciamo la media dei tempi ottenuti.

Simuliamo una partita con l'estrazione di un valore casuale tra 0 e 1: quando otteniamo 0 vince il primo giocatore, quando otteniamo 1 il secondo.

Simuliamo una sequenza di partite, interrotta dal giocatore che punta sullo 0 non appena egli passa in vantaggio. Per tale sequenza calcoliamo il tempo di attesa.

(Il programma di simulazione, , utilizza un ciclo For, e funziona come segue. All'inizio del For, gli zeri e gli uno estratti e il totale delle partite sono fissati a 0. Continuiamo il For finchè  gli zeri sono al più tanti quanti gli uno. Ad ogni passo incrementiamo il totale, e se abbiamo estratto uno zero incrementiamo anche gli zeri, altrimenti incrementiamo gli uno. Terminiamo restituendo il totale delle partite giocate.)

Costruiamo ora una, applicando n=200 volte l'operazione "attesa", una lista L di n tempi casuali. La somma dei valori di L rappresenta il tempo necessario per applicare n=200 volte la strategia di attesa, e quindi il tempo per vincere n partite in più dell'avversario.

Calcoliamo ora quanto abbiamo atteso in media, in ognuna delle n volte, per passare in vantaggio di una partita.

Moltiplicando per n, calcoliamo di quanto tempo abbiamo avuto bisogno per passare in vantaggio di n partite.

Sia la media di L che il numero di partite giocate sono imprevedibilmente alti. Se disegnamo il grafico dei valori dei tempi di attesa, vediamo che in L ci sono molti valori bassi (metà dei valori è costituita da 1) e pochi valori molto grandi (in genere esiste un unico picco altissimo) .

Contiamo quante volte il tempo di attesa vale 1, 3, 5, 7, 9 (il tempo di attesa deve essere dispari, dato che alla fine di un gruppo di partite gli zeri sono uno in più degli "uno"). Calcoliamo anche il valore del massimo del tempo di attesa (l'altezza del picco che vediamo nel grafico).

Circa metà dei valori sono costituiti da 1 perchè in metà dei casi il giocatore che punta sullo zero passa in vantaggio già alla prima partita.

Ma ripetendo la strategia di attesa molte volte, prima o poi incontriamo un numero molto grande. Questo corrisponde a situazioni in cui il giocatore che punta sullo zero non passa in vantaggio subito, si ostina a giocare, e perde una fortuna. Per poter vincere con certezza, dovrebbe avere un tempo infinito a disposizione, ma questo non è possibile.
Notiamo invece che, quando vince, lo stesso giocatore vince col vantaggio di una partita sola.

Ecco spiegato quindi il fatto che la strategia di attesa sia, con probabilità 1, una strategia vincente: si tratta un "paradosso dell'infinito", una forma molto elaborata di Catena di Sant'Antonio.

Il tempo necessario alla strategia di attesa per vincere, infatti, è in media, come ci suggerisce l'esperienza fatta, infinito. I paradossi dell'infinito (enunciati veri ma bizzarri, del tipo: (infinito=infinito+1)) consentono di "creare dal nulla" quantità finite, che non vengono in realtà mai raggiunte.

Nella realtà, un giocatore che segua la strategia di attesa avrà solo un tempo limitato a disposizione. Nella maggior parte dei casi passerà in vantaggio di una partita, ma in pochi casi interromperà in gioco quando è in svantaggio di molte.
In media, come era prevedibile, la sua vincita sarà di nuovo 0.

Dimostrazioni.

(Utilizziamo qui una nozione intuitiva di probabilità per sequenze infinite. Le dimostrazioni date andrebbero in realtà completate).

La probabilità p che la strategia di attesa termini è pari a ( + ). Infatti in metà dei casi la strategia termina subito. Nella rimanente metà il banco passa in vantaggio di uno. La probabilità che  l'altro giocatore rimonti è la stessa che questi avrebbe avuto, all'inizio, di passare in vantaggio di due partite: dunque è .

Dunque la strategia di attesa termina sempre. Ma in quanto tempo t? In metà dei casi, in tempo 1 (quando il giocatore che segue la strategia vince la prima partita. Nella rimanente metà dei casi, in tempo 1+2t (dimenticando la partita appena passata, occorre lasciar passare abbastanza tempo perchè il secondo giocatore vinca due partite più del primo).

Risolviamo l'equazione t = (1/2)1 + (1/2)(1+2 t): non troviamo soluzioni (in realtà una soluzione c'è, ma è infinita).

Verifichiamo infine, solo empiricamente, che se adottiamo la strategia di attesa ma con il vincolo di troncarla dopo al più m mosse, in media vinceremo tante partite quante l'avversario.

Scriviamo un programma che simula l'uso della strategia di attesa troncata dopo m mosse, quindi calcola di quante partite è in vantaggio alla fine il secondo giocatore. Se la strategia ha avuto successo, questo numero è 1, ma non sempre sarà così.

Applichiamo ora n volte la strategia di attesa troncata a m passi, generiamo la lista delle vincite (o perdite) corrispondenti, e prendiamone la media.

La media delle vincite è prossima a zero, così come deve essere quale che sia la strategia seguita e le partite giocate, dato che, come abbiamo sottolineato dall'inizio, la vincita media in ogni partita è 0. Pochi picchi di valore negativo bilanciano un gran numero di vincite tutte uguali ad 1.

Il risultato è un grafico che ha l'aspetto di una grotta ricca di stalattiti: il soffitto della grotta corrisponde alla retta Vincite = +1, ovvero alle nostre vincite, modeste ma numerose. Ogni "stalattite" corrisponde a una nostra perdita: le perdite non sono molte ma sono ingenti. La media tra vincite e perdite è poco di più, oppure poco di meno, di 0.