Studio della funzione f(x) = ((x-1)/(x-2))

(Ricordatevi di ripulire le variabili f, x, e che la costante "e" vuole la maiuscola in Mathematica).

Determinare: dominio, grafico, limiti, asintoti, zeri, massimi, minimi, crescenza, decrescenza, flessi. Disegnare la tangente nel punto di flesso.

Dominio: tutti i numeri reali tranne x=2

Grafico. Modificate il dominio della y (comando PlotRange -> {y1,y2}) in modo da rendere il grafico più comprensibile.

Limiti agli estremi del dominio: Calcolate i limiti per x-> -∞, x->2-, x->2+, x->+∞.

Zeri. f[x]=0 se e solo se (x-1)=0. Dunque l'unico zero è in x=1. Controlliamo risolvendo f[x]=0 meccanicamente (con Reduce, opp. Solve, opp. FindRoot).

Segni. f[x] è continua, dunque il suo segno non cambia in un intervallo in cui sia sempre definita e non abbia zeri. Ne segue che il segno di f[x] è costante:
in ]-∞,1[ (dato che x=1 è uno zero di f[x])
in ]1,2[    (dato che x=2 è un punto di non definizione)
in ]2,+∞[.
  In questi intervalli, il segno si determina calcolando f[x] in un qualsiasi punto dell'intervallo. Da -∞ a 1 la f è positiva, da 1 a 2 è negativa, da 2 in poi positiva.

Asintoti. C'è un asintoto orizzontale y=0 in x=-∞, un asintoto verticale in x=2. Non c'è nessun asintoto obliquo per x->+∞: la pendenza di tale asintoto dovrebbe essere il limite di f[x]/x per x->+∞, ma tale limite è +∞.

Massimi e minimi, crescenza e decrescenza. Innanzitutto disegnamo ingranditi i comportamenti della funzione tra -4 e 2, e tra 2 e 4.

In [-∞,2] risulta evidente un andamento crescente e concavo da -∞ fino a circa -0.5. L'andamento della funzione è quindi crescente e convesso, con un massimo all'incirca in +0.5. Poi f[x] decresce fino a x=+2, y=-∞. Queste impressioni dovranno venire confermate con lo studio della derivata prima e seconda di f.

In [2,∞] vediamo un andamento convesso, prima decrescente poi crescente, con un minimo circa in x=+2.5.

Per calcolare i massimi e i minimi, studiamo f'[x], e risolviamo l'equazione f'[x]=0 in vicinanza di x=+0.5,+2.5. Gli zeri di f'[x] corrispondono a massimi, minimi e flessi orizzontali di f[x].
Per stabilire se uno zero di f'[x] è un massimo, minimo o flesso, dobbiamo studiare il segno di f'[x]. Di nuovo, usiamo il fatto che f'[x] è continua e quindi non cambia segno in un intervallo in cui è sempre definita e non ha zeri.
f'[x]>0 significa f crescente in x, mentre f'[x]<0 significa f decrescente in x. Un x tale che f'[x]=0 è un massimo se f è crescente prima di x e decrescente dopo, un minimo se f è decrescente prima di x, e crescente dopo, un flesso altrimenti.

Semplifichiamo l'espressione per f'[x].

Disegnamo f'[x]. Per meglio rappresentare f'[x], è bene disegnare separatamente il grafico prima e dopo il polo x=2.

L'andamento di f'[x]. Vediamo un massimo in -0.5 circa, un segno positivo fino a uno zero in +0.5 circa, quindi un andamento negativo fino ad uno zero in +2.5 circa. Ne segue che f[x] è crescente fino a circa -0.5, decrescente fino a +2.5, quindi di nuovo crescente. Il primo zero di f'[x] sarà quindi un massimo di f[x], il secondo un minimo

Calcolo del Massimo. Il primo zero di f'[x] corrisponde a un massimo di f[x]. Troviamone il valore (con Reduce opp. Solve opp. FindRoot).

Calcolo del Minimo. Il secondo zero di f'[x] corrisponde a un minimo di f[x].

Concavità, Convessità, Flessi. Infine, individuiamo concavità, convessità e flessi obliqui di f[x] studiando f''[x]. Di nuovo, studiamo prima gli zeri di f''[x], poi, usando il fatto che f''[x] è continua, il segno di f''[x]. Quando f''[x]<0, allora f[x] ha concavità verso in basso (è convessa). Quando f''[x]>0, allora f[x] ha concavità verso l'alto (è concava). Quando f''[x]=0, allora f[x] ha un flesso ascendente (un punto, cioè, in cui la tangente ad f[x] "trapassa" il grafico di f[x]).

Calcoliamo f''[x].

Disegnamo f''[x].

Calcolo del Flesso e della sua pendenza. f''[x] è negativa prima di (circa) -0.3, poi nulla, poi positiva. Dunque f[x] ha prima concavità verso il basso, poi un flesso in -0.3 circa, poi concavità verso l'alto. Troviamo l'unico x0 tale che f''[x0]=0.

Il valore x0 trovato è un flesso obliquo, di coordinate (x0,y0) con y0 =f[x0], e pendenza (inclinazione della tangente ad f[x] in x0) pari a m0=f'[x0]. Definiamo x0, y0, m0.

Disegno della tangente nel punto di flesso. L'unica retta che passi per (x0,y0), e che abbia pendenza m0, è y=m0(x-x0)+y0. Disegnamo simultaneamente f[x] e la sua tangente in x0.
   Verifichiamo che x0 è  un flesso (la tangente in x0 è prima sotto il grafico di f[x], poi lo attraversa in x0, infine si trova al di sopra di esso).