Studio della funzione g(x) = x-3Log[x]-

Ricordatevi di ripulire le variabili g, x.

Determinare per y=g(x): dominio, grafico, limiti, asintoti, zeri, massimi, minimi, crescenza, decrescenza, flessi. Disegnare la tangente negli eventuali punti di flesso.

Il dominio è ]0,∞[ (a causa della presenza di Log[x]). Disegnamo il grafico di g(x).

Il grafico evidenza:
- un asintoto verticale in x=0;
- una decrescenza con uno zero, circa in  1;
- un minimo negativo, circa in 4;
- una crescenza con un nuovo zero, circa in 9;
- una concavità verso l'alto fino a circa 14;
- quindi un flesso (cambiamento di concavità, ora rivolta verso il basso);
- un massimo intorno a 24;
- una decrescenza con uno zero intorno a 32;
- infine una tendenza a -∞.
Tutte queste informazioni andranno controllate e precisate con lo studio di g'(x) ed g''(x).

Zeri. Cerchiamo gli zeri di g(x) con il metodo di Newton (comando Root). Confermiamo i tre zeri sopra descritti.

Segni di g. g[x] è continua, dunque il suo segno non cambia in un intervallo in cui sia sempre definita e non abbia zeri. Ne segue che il segno di g[x] è costante:
in ]0.00, 0.95[    (dato che x=0.95 circa è uno zero di g[x])
in ]0.95, 8.88[    (dato che x=8.88 circa è uno zero di g[x])
in ]8.88, 32.4[    (dato che x=32.4 circa è uno zero di g[x])
in ]32.4, +∞ [    
  In questi intervalli, il segno si determina calcolando g[x] in un qualsiasi punto dell'intervallo. Da 0.00 a  0.95 la g è positiva, da 0.95 a 8.88 è negativa, da 8.88, 32.4 è di nuovo positivia, da 32.4 in poi positiva.

Studiamo il comportamento di di g(x) agli estremi del dominio: confermiamo l'asintoto verticale in x=0.

Studiamo il comportamento per x->∞.

Non tutte le versioni di Mathematica sono grado di calcolare l'ultimo limite. In base a considerazioni sugli ordini di infinito ( è un esponenziale, quindi prevale sugli altri), noi possiamo comunque stabilire che tale limite è -∞.

Calcoliamo la derivata g'[x] di g[x].

Disegnamo il grafico di g'[x], calcoliamone il valore agli estremi del dominio.

Studiamo i limiti di g' agli estremi del dominio.

Il primo risultato conferma che x=0 è un asse verticale di g. Il secondo stabilisce che non esistono asintoti obliqui di g (dovrebbero avere pendenza Lim[g'[x],x->∞] = -∞).

Infine, troviamo i due zeri di g'[x] (che sono, nell'ordine, un punto di minimo e massimo locali di g[x]).

Segni di g'. g'[x] è continua. Ripetendo il ragionamento già utilizzato per g[x], possiamo osservare che g' non cambia segno in un intervallo in cui sia definita e non abbia zeri. Ne segue che il segno di g'[x] è costante:
in ]0.00, 3.45[    (dato che x=3.45 circa è uno zero di g'[x])
in ]3.45, 23.2[    (dato che x=23.2 circa è uno zero di g'[x])
in ]23.2, +∞ [    
Di conseguenza g' sarà negativa in ]0.00, 3.45[, positiva in ]3.45, 23.2[, negativa in ]23.2, +∞ [. g sarà quindi decrescente in ]0.00, 3.45[, decrescente in ]3.45, 23.2[, crescente in ]23.2, +∞ [. Dunque 3.45 sarà un minimo, e 23.2 un massimo (locali).

Concavità, Convessità, Flessi. Ripetiamo il calcolo dei limiti, il disegno del grafico ed il calcolo degli zeri per g''[x]. Quando g''[x]<0 avremo una concavità verso il basso per g, quando g''[x]=0 avremo un flesso, quando g''[x]>0 avremo una concavità verso l'alto.

L'unica soluzione x0 di g''[x]=0 è un punto di flesso di g[x]. Il punto ha coordinate (x0,y0), con y0=g[x0], e tangente a g[x] di pendenza m0=g'[x0].

Disegnamo ora sovrapposti il grafico di g[x] e il flesso (la tangente ad g[x] in x=x0). Tale tangente è l'unica retta per (x0,y0) di pendenza m, dunque ha equazione y=m0(x-x0)+y0.