Compito di preparazione di Analisi 1 (25 Novembre 2001).

1. Studiare la funzione f(x)=x .

2. Per a>0, bεR, siano
    f1(x)    =log(x+a)+b;
    f2(x)    =log(1/(x+a));
    f (x)    =se x>=0 allora f1(x) altrimenti f2(x)
Determinare per quali valori di a, b la funzione f è continua in 0, e per quali valori è derivabile. Per definire una funzione per casi usate il comando "If[x>=0,f1[x],f2[x]]".
(Ricordatevi di ripulire una variabile prima di usarla, e attenti a non scrivere "if" minuscolo.)

Risolviamo f1(0)=f2(0) per decidere se la funzione f può essere continua.

Risolviamo il sistema:
     f1 (0)= f2 (0)
     f1'(0) = f2'(0)
per decidere se la funzione f può essere derivabile (per essere derivabile, è necessario che una funzione sia continua, e che i limiti destri e sinistri delle derivate coincidano).

3. Calcolare il limite, per x->() (x che tende a 0 da sinistra), di
                           f(x) = tg(x)/sin(2x)
Disegnare f nell'intorno di 0. (Ripulire f, x prima di usarle).

Studiamo separatamente i limiti di e di Tan[x]/Sin[2x] per x->0.

Semplificando l'espressione tg(x)/sin(2x), si ottiene /2.  Questo spiega il valore del limite di tg(x)/sin(2x) in 0.

Disegnamo f nell'intorno di 0 (scegliere degli opportuni valori per PlotRange per meglio vedere l'andamento di f).

4. Calcolare i seguenti integrali:

5. Studiare l'integrale improprio:

La soluzione contiene la funzione ExpIntegralEi(x), poco nota, uguale per definizione all'integrale di x). Per conoscere il valore numerico è sufficiente applicare N[.]:

6. Studiare il comportamento della serie:

La serie in questione è divergente, ma non tutte le versioni di Mathematica riescono a stabilirlo. Se non otteniamo risposta, studiamo empiricamente  la serie . Perchè la sommatoria di converga, è necessario che tenda a 0; ma se così non è, ne concluderemo che la sommatoria diverge. Esaminiamo i primi n elementi della serie , per n=10,20,30,...,100.

Il logaritmi in base 10 di ci dà il numero delle cifre decimali di . Esaminiamo i primi cento logaritmi e disegnamone il grafico:

E' evidente che l'n-esimo elemento della serie tende rapidamente all'infinito. Il numero delle cifre di , in base al grafico, sembra essere proporzionale ad . Ridisegnando il grafico logaritmico, questa volta diviso per , stabiliamo che il numero delle cifre di è circa (0.4)*, ovvero che è circa . Ciò è sufficiente a concludere che (e a maggior ragione la sommatoria di ) tenda all'infinito.

Non è difficile trovare una prova matematica di ->∞ per n->∞. Osserviamo che = . E' sufficiente ora provare che ->∞. Sappiamo che n! <=. Ne deduciamo >= = () =   . Quest'ultima espressione tende all'infinito perchè sia che n tendono all'infinito.

7. Risolvere la seguente equazione differenziale in dipendenza dal parametro pεR:
                               p y'' + y' + y=0