Presentazione del metodo di bisezione.

Zeri. Un x in [a,b] tale che f(x)=0 (una soluzione in [a,b] dell'equazione f(x)=0) viene detto uno zero di f in [a,b].

Teorema di esistenza degli zeri. Una condizione sufficiente perchè una funzione continua f su [a,b] abbia almeno uno zero in [a,b] è che i valori f(a), f(b), di f sugli estremi a, b di tale intervallo abbiano segni diversi (il primo sia <=0 e il secondo >=0, o viceversa). Questa condizione si verifica controllando che c = (f(a)*f(b)) sia <=0.

Metodo di bisezione. Il metodo di bisezione controlla che sia f(a)*f(b) <=0, e in tal caso divide l'intervallo [a,b] in due parti, [a,m] e [m,b], dove m = punto medio di [a,b]. Un attimo di riflessione basta a convincersi che f cambierà segno in almeno uno di essi (altrimenti f avrebbe lo stesso segno, positivo o negativo, in a, b, m). Se f cambia segno in [a,m], continuiamo la ricerca di uno zero in [a,m]. Altrimenti f cambierà segno in [b,m], e noi continueremo la ricerca in [m,b].
Ripetiamo questo passo n volte: ci riduciamo a un intervallo [a',b'] di lunghezza volte inferiore a quello originale, dunque di lunghezza (b-a)/, in cui f cambia ancora segno, e in cui quindi f ha uno zero. Dunque m' = punto medio di [a',b'] sarà un'approssimazione di uno zero di f a meno di (b-a)/, con n a scelta nostra.

Limitazioni del metodo di bisezione. Il metodo di bisezione non trova tutti gli zeri.
Per esempio, non trova lo zero (e minimo locale) di in [-1,1], dato che la funzione è positiva in ambo gli estremi dell'intervallo. Trova un solo zero di - 3+2) in [-3,3] (ce ne sono tre: x= 0, 1, 2).

Il metodo di bisezione ripetuto. Per cercare tutti gli zeri di f in [a,b] suddivideremo (quando possibile) [a,b] in d sotto-intervalli uguali, abbastanza piccoli da contenere al più uno zero di f. Quindi applicheremo il metodo di bisezione a tutti tali sotto-intervalli.

Limitazioni del metodo di bisezione ripetuto. Quando è possibile scegliere d come sopra, il metodo di bisezione ripetuto trova tutti gli zeri di f in [a,b], tranne quelli che sono minimi o massimi locali.
Infatti questi ultimi sono circondati da valori di f tutti positivi (per i minimi) o negativi (per i massimi), e non possono quindi essere scoperti mediante un cambio di segno di f, ma solo nei rari casi in cui cadono in un estremo di un sotto-intervallo.