4. La superficie di Clebsch e altre superfici di grado elevato (complemento): i modelli della Biblioteca Peano.

In questo capitolo prendiamo spunto da una collezione di modelli di superfici, in legno dipinto, che si puo' ammirare alla Biblioteca Peano (Dipartimento di Matematica dell'Universita' di Torino, via Carlo Alberto 10, Torino). Di questi modelli è disponibile in rete una versione virtuale, gratuita, dovuta al dott. Todesco (con consulenza scientifica del Prof. Ferrarese), all'indirizzo:
    "I Modelli del Dipartimento di Matematica"        http://www.divideo.it/personal/todesco/torino/index.html
(immagini disponibili anche in versione poster). Altre superfici notevoli si possono ammirare agli indirizzi:
    "Steiner Surfaces"                    http://www.ipfw.edu/math/Coffman/steinersurface.html
    "Mathematical Surfaces"                http://www.uib.no/People/nfytn/mathgal.htm

Maggiori dettagli si trovano nel libro della Biblioteca Peano:
La collezione dei modelli di superfici del Dipartimento di Matematica dell'Università di Torino.
A. Cavagnero, G. Ferrarese Dipartimento di Matematica, Università di Torino, Conferenze e Seminari 1997-1998, Ass. Subalpina Mathesis, 219-234

Disegno di superficie in forma implicita: il comando ContourPlot3D.

Includiamo un pacchetto per disegnare superfici 3D scritte in forma implicita (ovvero f(x,y,z)=0):
                                <<Graphics`ContourPlot3D`
(Di nuovo, bisogna fare attenzione a caricare il pacchetto prima di eseguire ContourPlot3D, altrimenti non possiamo più farlo, e dobbiamo uscire e rientrare da Mathematica per ripulire la memoria).

Definiamo un comando che disegna una superficie di equazione data in un'area [a,b]x[a,b]x[a,b], utilizzando il comando ContourPlot e altre opzioni a nostra scelta.

Superficie di Clebsch.

La Superficie di Clebsch è una Cubica (=superficie di grado 3) non singolare (priva di punti "spigolosi") che contiene 27 rette (il massimo teorico per le cubiche non singolari).  La sua equazione e':
        16x^3 + 16y^3 - 31z^3 + 24x^2*z     -   48x^2*y  -  48x*y^2 + 24y^2*z - 54*Sqrt[3]*z^2 -72*z = 0

Disegnamo la superficie di Clebsch in un'area scelta.

Rivediamo il disegno da una diversa angolazione.

Superficie di Cayley.

Superficie di Cayley e' una cubica con quattro punti doppi conici (=con uno "spigolo" a forma di doppio cono) nello spazio reale, e al finito.
Ha equazione:
                         9x^3 - 4z^3 - 27x*y^2 + 3(x^2 + y^2)z - 36(x^2+y^2) + 16z^2 = 0

Disegnamo la superficie di Cayley in un'area scelta. E' difficile rendere i punti conici: il comando ContourPlot3D tende a non vederli.

Rivediamo il disegno da una diversa angolazione.

Superficie di Kummer.

Superficie di Kummer. Quartica (superficie di grado 4) con i 16 punti doppi conici (=a forma di doppio cono) tutti reali e al finito. Equazione:
x^4 + y^4 + z^4 - 4x^2 - 4y^2*z^2 - 4y^2 - 4z^2*x^2 - 4z^2 - 4x^2*y^2 + 12*Sqrt[3]*x*y*z + 1

Disegnamo la superficie di Cayley in un'area scelta. Di nuovo, e' difficile rendere i punti conici: il comando ContourPlot3D tende a non vederli.

Rivediamo il disegno da una diversa angolazione.