CINEMATICA (esercitazione): moto di gravi in presenza ed assenza di attrito

Consideriamo un moto puramente gravitazionale, trascuriamo cioe` l'effetto dell'attrito:

Fissiamo l'accellerazione di gravita' nel Sistema Interzionale a:

Le equazioni del moto in due dimensioni di un corpo su cui agisce solo la forza di gravita` sono facilmente risolubili:

Si noti che si hanno due equazioni differenziali del secondo ordine, e quindi quattro costanti arbitrarie.

Supponiamo ora che il corpo venga lanciato con velocita` iniziali v lungo x e w lungo y, dal punto (x,y)=(0,0):

Le soluzioni delle equazioni del moto sono dunque (in forma parametrica):

A partire dalle soluzioni parametriche e` possibile immediatamente vedere l'andamento della curva cartesiana (con ad esempio v=10, w=5):

Notate che le scale degli assi sono piuttosto grandi. Provate a cambiarle cosi` da vedere meglio che la curva risultante e` una parabola:

E` possibile dare la soluzione anche in forma cartesiana:

E` immediato ora ad esempio calcolare la gittata:

Mostrare che e` equivalente alla formula nota.

Al variare di v e di w  vediamo ora come cambia la curva:

Si noti che l'animazione di questi grafici, pur rispecchiando l'andamento generale della soluzione al variare dei parametri, non e' particolarmente significativa. Perche`?

Si puo` ovviare a cio` con l'uso del comando PlotRange:

Provate ora a ripetere il tutto dando come condizioni iniziali il modulo della velocita` e l'angolo che essa forma con un asse a vostro piacere:

Studiamo ora il caso di un moto in presenza di attrito:

Fissiamo il coefficiente d'attrito nel Sistema Interzionale a:

Le equazioni del moto che descrivono la caduta di un grave in una dimensione in presenza di attrito (forza proporzionale alla velocita`) sono:

Mostrare qualitativamente, con opportuni plot,  che il grave tende ad una velocita` massima:

E` facile per tutti adesso trovare la legge oraria di un grave in caduta libera in assenza di attrito (problema unidimensionale) e graficarla.
Confrontate poi nello stesso grafico i due casi (presenza e assenza di attrito), in modo da evidenziare il ruolo dell'attrito.

Trattiamo ora il problema in due dimensioni spaziali, assumendo che il moto lungo l'asse x sia completamente disaccoppiato dal moto lungo l'asse y.  
Si fissi il coefficiente d'attrito nella direzione x a

Le equazioni differenziali che descrivono il sistema sono dunque:

Le soluzioni sono:

Vediamo dunque la curva risultante:

Il grafico sopra disegnato fornisce una descrizione soddisfacente del moto ?

Provate ora voi a risolvere il problema bidimensionale di un grave soggetto all'accellerazione gravitazionale e all'attrito.
A differenza del caso precedente, l'attrito e` proporzionale al modulo della velocita`, ossia si oppone al moto isotropicamente.
    Sia il coefficiente d'attrito

Si consiglia un approccio numerico al problema.