DINAMICA (esercitazione): moto oscillatore  del pendolo.

Consideriamo un pendolo semplice (ossia un punto materiale di massa m appeso tramite un filo inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza L). Incominciamo col visualizzare il problema fisico (non badate alla sintassi del comando usato per generare la figura) :

<<Graphics`Arrow`

OO={0,0};
θ=55 *π/180;
P={Sin[θ],-Cos[θ]};
Q=P+{0,-.5};
Show[Graphics[{
    Arrow[{-1,0},{+1,0}],
    Text["x",{.9,0.2}],
    Arrow[{0,-1},{0,+1}],
    Text["y",{0.1,+1}],
    Text["θ",{.1,-.45}],
    Hue[170/256],
    Arrow[OO,P],
    Text["P",P+{.1,0}],
    Circle[OO,{.3,.3},{-π/2,-π/2+θ}],
    Hue[1],
    Arrow[P,Q],
    Text["mg",Q+{.1,0}]
    },AspectRatio->Automatic
    ]]
    Clear[θ];

Fissiamo alcune grandezze fisiche:

L'equazione del moto e` quindi:

Questa e` di difficile risoluzione analitica, possiamo pero` studiarne l'approssimazione lineare (valida per piccoli angoli di oscillazione):

Fissiamo le condizioni iniziali

e troviamo ora la curva del moto nei due casi (esatto e linearizzato):

Visualizziamo ora il moto:

OO={0,0};
Anima[f_,passi_]:=Do[
    GraphicsArray[
    Table[
    P=Flatten[{Sin[f],-Cos[f]}];
    (* Print[P]; *)
    Show[Graphics[{
    Arrow[{-1,0},{+1,0}],
    Text["x",{.9,0.2}],
    Arrow[{0,-1.0},{0,.2}],
    Text["y",{0.1,.2}],
    Hue[170/256],
    Arrow[OO,P]
    },AspectRatio->Automatic
    ]]
    ,{t,0,T,T/passi}]]]

Stimiamo ora l'errore della soluzione numerica dell'equazione linearizzata rispetto alla sua soluzione analitica:

Risolvere per via numerica l'equazione approssimata al terz' ordine:

Stimare ora per quale angolo θ[0] le equazioni approssimate al primo e al terzo ordine ammettono soluzioni con errore (rispetto all'equazione esatta) dell'1% a t = T/10 secondi.

Considerare ora lo stesso sistema fisico (pendolo semplice) ma tenete conto anche dell'inevitabile attrito cui la massa appesa al filo e` soggetta.
Trovate la traiettoria risultante e animatela.
Si ricorda che la forza d'attrito e` proporzionale alla velocita`.

Provate a stimare la relazione tra il periodo della soluzione e il coefficiente d'attrito.