Esercitazione 2: un sistema di equazioni differenziali per il moto di una barca.

Una barca parte da un punto P sulla sponda di un fiume e procede con velocita` costante V in direzione di un altro punto Q sull'altro lato del fiume,direttamente opposto a P a distanza d da esso.Se r e` la distanza istantanea da Q alla barca, θ l'angolo tra r e PQ e la corrente del fiume ha velocita` v, mostrare che la traiettoria della barca e` data da:
    r=d/(Cos[th] (1/Cos[th]+Tan[th])^(V/v))

Vediamo la traiettoria del moto che abbiano ottenuto analiticamente. A tal scopo definiamo dei valori per d, V, v, e la funzione che calcola r dato th:

Disegnamo il grafico di f.

Studiate ora come cambia la soluzione al variare  dei parametri del problema. Trovate una spiegazione fisica.

Le stesse traiettorie potevano essere direttamente ottenute con MATHEMATICA, senza avere una soluzione analitica della curva in forma cartesiana. E' sufficiente definire un sistema di equazioni differenziali ordinarie che rappresenti le condizioni del problema, quindi risolvere tale sistema con il comando NDSolve[].

Considerate ora il caso in cui la velocita` del fiume dipenda dalla distanza delle sponde mediante la formula:
    (4 A/(d^2))*( r[t]*Cos[θ[t]]*(d-r[t]*Cos[θ[t]]) )
dove A è una costante che potete fissare a vostro piacere.