Un problema di intercettazione

Problema. Un poliziotto deve raggiungere un motociclista che viagga a 80 Km/h partendo da fermo, con una accelerazione costante di 5 m/. Dopo quanto tempo avviene l'intercettazione?

Questo semplice esempio di cinematica è utile per introdurre la tecnica di definizione ricorsiva di una successione e alcuni comandi elementari di Mathematica:
                    DSolve, ListPlot, Plot, Show, Timing, Table
Procediamo nella risoluzione del problema come se dovessimo
svolgere i conti a mano.

Poiché il poliziotto intercetta il motociclista quando gli spazi percorsi
sono uguali ...

Osserviamo ora il metodo di sostituzione tramite l'operatore  /.

Nel passaggio precedente ci siamo dimenticati delle unità di misura...; Mathematica ci aiuta, a patto di introdurre i fattori di conversione, ad eseguire le conversioni

            (* distanza alla quale avviene  il contatto*)

Per introdurre la tecnica di definizione ricorsiva di una successione, riprendiamo ora il concetto di  velocità ed accelerazione che,  per valori di h  sufficientemente piccolo
possiamo scrivere:
                                          v(t+h) ≃ v(t) + a(t) h  
                                          x(t+h) ≃ x(t) + v(t) h
Sostituiamo ora  la misura esplicita del tempo t  con l'indice n; ciascun indice n corrsiponde ad un intervallo di tempo di ampiezza h,
per cui t = nh; poniamo quindi

Per innescare queste relazioni è necessario conoscere,
oltre ad a e h, v[0] e x[0]; nel nostro caso valgono

Per calcolare ora quanto valgono x[n] e v[n], ad esempio, per n= 100, consideriamo che Mathematica calcola
in ordine
                v[1] = v[0] + a h    e    x[1] = x[0] +v[1] h
                v[2] = v[1] + a h    e    x[2] = x[1] +v[2] h.
                                     ...
Ad esempio, per n=100,

Oppure, per n=253

40163.8

632.5

Ma, per n=256, ...

Cosa significa questo messaggio?
(Nota: una parte dell'ouput, essendo lungo, è stato soppresso)
Guardando l' Help si capisce che il metodo ricorsivo,  se non specificato, ammette "solo" 256 passi. È sufficiente quindi porre

300

Ora disegnamo l'andamento di v[n] e x[n], per n=50 ( ≡ t, 25 s);
valutiamo anche i tempi di esecuzione

Con il procedimento che segue è possibile ridurre i tempi di esecuzione.

Il miglioramento, in particolare per gx1, è dovuto all' utilizzazione della tecnica ricorsiva, dicendo cioè a Mathematica di "ricordare" i valori che ha già calcolato.

gx1 è la curva calcolata per ricorrenza mentre gvero è la curva reale: per valutare la differenza, sovrapponiamo i due grafici.  

Le curve non combaciano...Proviamo ora a modificare la relazione di ricorrenza, non sfruttando immediatamente la conoscenza di v2[n] per il calcolo di x2[n]

Per apprezzare le variazioni è opportuno riunire i tre grafici

Come si vede se il primo metodo si avvicina alla curva per eccesso mentre il secondo metodo approssima per difetto. Per una migliore valutazione definiamo la seguente funzione f[t].