Moto di un grave in presenza di attrito.

  Problema. Studiare il moto di un grave, lanciato verticalmente con velocità v, ed in presenza di attrito proporzionale a v.

Obbiettivo: studiare il comportamento della velocità  e dello
                  spostamento di un grave in funzione
                  a)della velocità iniziale
                  b) del coefficiente di attrito
In generale vale la relazione ∝ dove
n ≃ 1, per v < 24 m/s  - caso da noi considerato
n ≃ 2, per 24 < v < 330 m/s
Verranno utilizzati sia il comando Dsolve, per risolvere l' eq. diff.,
sia la tecnica ricorsiva.

Per lo studio dell' equazione 1 possiamo studiare direttamente la seguente equazione

oppure ricondurre la 1 ad un sistema di eq. diff. del primo ordine mediante la sostituzione z'[t] = v[t]

Per distinguere i due casi, le variabili e le equazioni sono nominate
con suffissi dif2, per l' equazione differenziale del secondo ordine,
dif1, per il primo ordine.

Se indichiamo con h l'altezza da cui viene lanciato il grave e con
v0 la sua velocità iniziale, possiamo introdurre

Poiché  il comando Dsolve richiede di associare all' eq. diff. la
rispettiva condizione iniziale, usiamo  il comando Join

Estraiamo le componenti verticale z(t)

Sostituite le varie costanti,

calcoliamo il coefficiente d' attrito che, per comodità, rinominiamo b1

Assegnamo i valori a g, v0, k, h, b.

Sostituiamo nell' equazione risolventi le condizioni iniziali.

Infatti

Plottiamo l' andamento zzdif[t] nei due casi.

I due grafici precedenti mostrano il comportamento di z[t]
ricavata in modo diverso, l'andamento è identico.
Da adesso useremo solo una delle due soluzioni per fare alcune
considerazioni. Manteniamo la soluzione dell' equazione del primo
ordine  ed estraiamone la v[t].

L' andamento della velocità, mostrando chiaramente un asintoto
orizzontale, indica che il grave accelera fino a una velocità limite
tale che
                     z''[t] = (g +b z'[t] ) = 0

Per  conferma di questo, valutiamo a[t] e  plottiamone il grafico

Esaminiamo ora il comportamento della velocità in funzione della velocità iniziale. Costruiamo una funzione contenete il parametro v0 oltre alla variabile t.

In questo modo, vpar è funzione di t e di v0.

Un grave in caduta libera in presenza di attrito funzione della
velocità raggiunge una velocità limite indipendente dalla sua
velocità iniziale, anche se maggiore della velocità limite. Si può
verificare che il valore a cui tende è dato da
                                                                       

Vediamo ora, nell'esercizio che segue,  come si affronta il caso in cui il grave sia lanciato da {X0,Y0}, con una velocità V0{Cos α, Sin α}.