Interpolazione per mezzo di polinomi

Uno dei modi più semplici per interpolare una lista di punti è basato sui polinomi algebrici.
Mettiamo alla prova il metodo trovato da lagrange  con cinque punti la cui ordinata è ottenuta
in modo casuale con il comando Random

Strisciamo, sara utile in seguito
{{0,1.4323274350876178`},{1,3.5342120026828856`},
{2,6.8216251767071086`},{3,7.672220834210907`},
{4,1.9366138720527097`}}

La funzione (polinomio) interpolante di Lagrange si scrive
(vedi anche interp-tremetodi.nb in cui si vedo anche come le
singole funzioni di Lagrange soddisfino la regola di Kronecker ) = )

Disegnamolo ... "a occhio"  pare proprio il pol interpolante

Se eseguiamo anche il test di introdurre la lista delle ascisse x in  p1[t],
ricaviamo una lista contenente  le ordinate fornite in ingresso !

Fino all'ultima cifra ...
1.4323274350876178`,3.534212002682885`,
6.8216251767071086`,7.672220834210907`,
1.9366138720527097`}

Esaminiamo alcuni  casi molto semplici per cercare di comprendere l'idea di Lagrange;
iniziamo con due punti

poi con tre punti

con quattro

Ora è chiaro ...

Partiamo nuovamente da due punti

Dalla geometria analitica sappiamo che vale la seguente equazione

                             .

Con  Lagrange

Ripetiamo con i seguenti tre punti

La curva deve essere una parabola

Proviamo ancora con i seguenti quattro punti

Tutto sembra procedere senza intoppi ma, per testare ora il grado di applicabilità
dell'idea di Lagrange,  consideriamo una funzione apparentemente innocua,
la funzione di Runge

Tabuliamo la funzione per ottenere una lista di cinque punti

È soddisfacente ? Proviamo ora con nove punti

E con 17?

Come si può osservare, all'aumentare dei punti della curva, nonostante l'aumento del grado del polinomio, non si ottiene  una rappresentazione fedele. La funzione trovata passa sì attraverso tutti i punti, ma presenta delle oscillazioni che si
discostano in modo significativo

Proviamo ancora con un altra funzione:

Cominciamo con solo tre punti

Vista la natura della curva era prevedibile che con soli tre punti il metodo di Lagrange fallisse. Ma vediamo come si comporta con cinque punti

Come si può vedere, la rappresentazione alla Lagrange è accettabile solo in un intervallo ridotto.