Risoluzione in x, y, z, t.

Risolvere rispetto a t, nel parametro u, ha come incoveniente che non è semplice individuare il dominio del parallelo u. Questo perchè in genere una circonferenza su una sfera non passa per tutti i paralleli della sfera (a meno che sia disposta in verticale), ma solo per una parte di essi.
Otteniamo 4 soluzioni.

In[465]:=

Clear[x, y, z, t, u]

In[466]:=

Reduce[{Sin[t] Cos[u], Cos[t] Cos[u], Sin[u], z} == {x, y, z, x + y}, {x, y, z, t}]

Out[466]=

C[1] ∈Integers&& (Cos[u] ≠0&&Sin[u] Cos[u] &&x> ... u] 0&&Sin[u] 0&&x0&&y0&&z0

  Riprendiamo ora le 4 soluzioni ottenute risolvendo rispetto a x,y,z,t, con parametro u. Esse diventano 2 se dimentichiamo il parametro t, e se scriviamo x, y, z in funzione della sola u.
  Proviamo a fare il grafico parametrico in funzione di u. Dobbiamo farne due, uno per soluzione, e prendere l'unione. Otteniamo due semicerchi, la cui unione è il cerchio richiesto.
  Nota 1. Il disegno produce dei messaggi di errore, dovuti al fatto che usiamo come dominio del parametro u: -π/2,+π/2, mentre il reltà il dominio di u è diventato più piccolo (occorre che la radice (2 - Tan[u]^2)^(1/2) sia definita).
  Nota 2. Nella giuntura dei due semicerchi c'è uno strappo vistoso, dovuto alle approssimazioni dei due disegni.

In[467]:=

red = RGBColor[1, 0, 0] ;

In[468]:=

F1 = ParametricPlot3D[{1/2 (Sin[u] - Cos[u] (2 - Tan[u]^2)^(1/2)), 1/2 (Sin[u] + Cos[u] (2 - T ... ^2)^(1/2)), 1/2 (Sin[u] - Cos[u] (2 - Tan[u]^2)^(1/2)), Sin[u], red}, {u, -π/2, π/2}] ;

1 2 1 ... 07963267948966`. More… 2 2

1 2 1 ... 28342372016656`. More… 2 2

1 2 1 ... 58884172384155`. More… 2 2

General :: stop : Further output of ParametricPlot3D :: pplr will be suppressed during this calculation. More…

[Graphics:../HTMLFiles/index_324.gif]

1 2 1 ... 07963267948966`. More… 2 2

1 2 1 ... 28342372016656`. More… 2 2

1 2 1 ... 58884172384155`. More… 2 2

General :: stop : Further output of ParametricPlot3D :: pplr will be suppressed during this calculation. More…

[Graphics:../HTMLFiles/index_329.gif]

In[470]:=

F = Show[F1, F2] ;

[Graphics:../HTMLFiles/index_331.gif]

Solo per curiosità, chiediamoci per quali valori di u l'espressione (2 - Tan[u]^2)^(1/2) è definita. Risolviamo numericamente l'equazione 2 - Tan[u]^2.

In[471]:=

N[Reduce[2 - Tan[u]^2 == 0, u]]

Out[471]=

RowBox[{C[1] ∈Integers, &&, RowBox[{(, RowBox[{RowBox[{u, , RowBox[{RowB ... Box[{u, , RowBox[{RowBox[{0.955317, }], +, RowBox[{3.14159, , C[1]}]}]}]}], )}]}]

Teniamo conto che u è vincolato a variare tra -Pi/2 e +Pi/2. L'espressione (2 - Tan[u]^2)^(1/2) è dunque definita se u, in valore assoluto, è inferiore a 0.955317 radianti, ovvero, in gradi, a:

In[472]:=

RowBox[{0.955317, /, Degree}]

Out[472]=

54.7356

Dunque l'interserzione tra sfera e piano è una circonferenza che giace tra 54 primi e (circa) 45 secondi di latitudine nord, e 54 primi e (circa) 45 secondi di latitudine sud.

Created by Mathematica  (August 4, 2004)