Capitolo 3: Calcolo vettoriale.

Come definire un comando per disegnare Vettori nello spazio
(leggere ed eseguire quanto richiesto).

Cosa bisogna fare subito. Prima di utilizzare il comando Arrow3D[...] è necessario scaricare dall'indirizzo:
            http://www.di.unito.it/~stefano/MathMacro.txt
il file MathMacro.txt. Copiatelo nello stessa cartella delle dispense, quindi eseguite il comando:
                                  SetDirectory["AttualeIndirizzoMathMacro"];
                                  <<MathMacro.txt

In[328]:=

Il comando Arrow3D. Nel file "MathMacro.txt", contenuto nel sito del corso, viene tra l'altro definito un comando
               Arrow3D[{x1,y1,z1},  {x2,y2,z2},  "etichetta"]
per disegnare un vettore da (x1,y1,z1) a (x2,y2,z2) come un segmento con punta conica, e una certa etichetta (che deve essere scritta tra virgolette). Il raggio del cono vale 0.1; per modificarlo, è sufficiente dare il comando:
                      ConeRadius = nuovovalore;
Arrow3D disegna il vettore nullo come una punta rivolta (arbitrariamente) verso l'alto, e priva di asta. L'etichetta si può omettere.

Casi particolari. Nel caso il vettore parta dall'origine (nel caso siano x1=y1=z1=0), si possono omettere {x1,y1,z1}. E' sufficiente scrivere:
                               Arrow3D[{x2,y2,z2}, etichetta]
  Di nuovo, l'etichetta si può omettere. I vettori così ottenuti vanno visualizzati con il comando Show:
    Show[
             Arrow3D[{x1,y1,z1},{x2,y2,z2}],
            Arrow3D[{x1,y1,z1},{x2,y2,z2}],
            ...]

Provate alcuni esempi di uso di Arrow3D (se volete inserire un'etichetta, ricordatevi di scriverla tra virgolette: il testo deve essere inserito tra virgolette nei comandi di Mathematica).

In[329]:=

Out[329]=

Esercizi di calcolo vettoriale

Esercizio 1, Capitolo 3 (Abbena-Gianella). Indichiamo con  a×x, a.b, i prodotti vettoriali e scalari di a, b (vettori in 3D). Dati i vettori a = (h,-1,3), b=(1,-h,1), c= (-2,0,k), trovare due valori reali per h,k e un vettore X = (x1,x2,x3) tale che:
                                a×x + b×x = c

Suggerimenti. Ripulire (comando Clear) le variabili h,k. Definire a,b,c,X (come liste), e=(a×x+b×x). Il prodotto vettoriale di a, b si indica con Cross[a,b], il prodotto scalare con a.b. Infine, risolvere il sistema (e = c) rispetto alle variabili:
                               x1,x2,x3,k,h
  E' necessario introdurre i parametri k, h tra le variabili. Se si cerca una soluzione rispetto alle sole variabili x1,x2,x3, si cerca una soluzione valida per tutti i k, h, che non esiste (il problema è risolubile solo per particolari k, h).

In[330]:=

In[331]:=

Out[331]=

Out[332]=

Out[333]=

Out[334]=

In[335]:=

Out[336]//MatrixForm=

In[337]:=

Out[337]=

Out[338]=

Esercizio 4. (i) I vettori a = (1,2,0) e b = (0,1,1) possono determinare i lati di un rettangolo? (ii) Determinare un vettore  v che rappresenti l'altezza rispetto ad a del parallelogramma individuato da a, b.
E' utile usare il comando Show[Arrow3D[a],Arrow3D[b]] per visualizzare a, b.

In[339]:=

Out[341]=

Osserviamo subito che a.b (=a scalare b) non è nullo. a,b non sono dunque ortogonali. Sia  a×x il prodotto vettoriale di a, b.

Metodo 1. Definire un vettore incognita V = {v1,v2,v3}. Un sistema nelle variabili v1,v2,v3 la cui unica soluzione è l'altezza, si può ottenere esprimendo certe condizioni di ortogonalità e parallelismo in termini di prodotto scalare e vettoriale. Le condizioni da usare sono:
(1) a è ortogonale a V (Spiegazione: l'altezza V di a è ortogonale ad a);
(2) (b×V) è ortogonale ad a (Spiegazione: (b×V) è ortogonale al piano di b e di V, quindi ad a, che si trova nello stesso piano).
(3) (b-V) è parallelo ad a (Spiegazione: se percorriamo b, e  poi dalla punta di b risaliamo all'indietro l'altezza V relativa ad a, arriviamo in un punto del vettore a).

In[342]:=

In[343]:=

Out[343]=

In[344]:=

Out[344]=

In[345]:=

Out[345]=

Controlliamo il risultato disegnando tutti i vettori.

In[346]:=

Out[346]=

Metodo 2. Riprendiamo il sistema precedente in v1,v2,v3, ma sostituiamo la condizione (3) con:
    V.V = norma dell'altezza di b rispetto ad a.
Tale norma si ottiene con la formula:

In[347]:=

Out[347]=

Il sistema ottenuto aggiungendo la condizione:
                              V.V=NormaAltezza
è di secondo grado. Una soluzione è l'altezza h, l'altra è (-h) (infatti (-h) ha la stessa norma di h, e quindi soddisfa anch'essa le condizioni del sistema).

In[348]:=

Out[348]=

Metodo 3. Dalla definizione di prodotto vettoriale possiamo dedurre che
                                 k = (a×b)×a
è parallelo all'altezza (per convincersene, è utile disegnare a×b e k).

In[349]:=

Out[349]=

Basta calcolare ora il versore associato a k, quindi moltiplicarlo per la lunghezza del vettore-altezza (è uguale alla radice quadrata della norma dell'altezza, già calcolata).

In[351]:=

Out[351]=

In[352]:=

Out[352]=

In[353]:=

Out[353]=

In[354]:=

Out[354]=

Created by Mathematica  (August 4, 2004)