Esercizio 5 del Novembre 2003.

Dato il sottospazio H generato dal vettore (1, -1, 3, 1) dello spazio R^4, trovare una base ortonormale per il sottospazio ortogonale ad H .

In[403]:=

u = {1, -1, 3, 1} ;

Definiamo una applicazione lineare A = {u}, tale che AX=0 se e solo se X è ortogonale a u.

In[404]:=

(A = {u})//MatrixForm

Out[404]//MatrixForm=

( 1 -1 3 1 )

Una base dello spazio delle soluzioni di AX=0 si può calcolare con il comando NullSpace, ed è anche una base dello spazio dei vettori ortogonali a u.

In[405]:=

{u1, u2, u3} = NullSpace[{u}]

Out[405]=

{{-1, 0, 0, 1}, {-3, 0, 1, 0}, {1, 1, 0, 0}}

La base trovata ha dimensione 3, e consiste di certi vettori u1, u2, u3. Verifichiamo che u1, u2, u3 sono ortogonali ad u.

In[406]:=

{u1 . u, u2 . u, u3 . u}

Out[406]=

{0, 0, 0}

Estraiamo, attraverso proiezioni e sottrazioni successive, una base ortonormale dalla base u1, u2, u3.

In[407]:=

Norm[u_] := u/(u . u)^(1/2)

SetDelayed :: write : Tag Norm in Norm[u_] is Protected. More…

Out[407]=

$Failed

In[408]:=

v1 = FullSimplify[Norm[u1]]

Out[408]=

2^(1/2)

In[409]:=

v2 = FullSimplify[Norm[u2 - (u1 . v1) v1]]

Out[409]=

(10 + 8 Abs[{-1, 0, 0, 1} . 2^(1/2)]^2 + 4 2^(1/2) Re[{-1, 0, 0, 1} . 2^(1/2)])^(1/2)

In[410]:=

v3 = FullSimplify[Norm[u3 - (u1 . v1) * v1 - (u2 . v2) * v2]]

Out[410]=

2^(1/2) √ (2 Abs[{-1, 0, 0, 1} . 2^(1/2) + {-3, 0, 1, 0} . (10 + 8 Abs[{-1, 0, 0, 1} . 2 ... ])^(1/2) (10 + 8 Abs[{-1, 0, 0, 1} . 2^(1/2)]^2 + 4 2^(1/2) Re[{-1, 0, 0, 1} . 2^(1/2)])^(1/2)]^2)

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