Statistica
Somme di  variabili casuali uniformi

Testo e Soluzioni di Stefano Berardi

Riassunto. Disegnamo il grafico delle frequenze per una quantità casuale Q somma di n variabili casuali uniformi, e verifichiamo che esso, al crescere di n, tende a una curva "a campana" di Gauss.

Definizioni

  Presentazione del problema. Studieremo una quantità casuale Q = + ... + , dove , ... , sono variabili casuali indipendenti in [0,1]. Q varia, in modo non uniforme, in [0,n]. Consideremo V=1000 valori di Q e suddividiamo l'intervallo  [0,n] in D intervalli uguali. Conteremo, per i = 0, ..., D-1, quanti valori di Q cadono nell'intervallo i-esimo, e riporteremo i risultati su di un grafico, detto grafico delle frequenze di Q.  

Caso n=1. statisticamente ci  attendiamo che, in media, che ci siano V/D valori in ogni intervallo; e dunque che il grafico sia una linea orizzontale. Vedremo come per valori di D alti rispetto a V (D=100, 50) il grafico avrà un andamento molto irregolare, e si avvicinerà ad una linea orizzontale solo per valori di D bassi rispetto a V (D=10) .

Caso n=2. Vedremo come, al crescere del numero di suddivisioni, il grafico tenderà ad un andamento da retta crescente da 0 D/2, seguito da una retta decrescente da D/2 a D.  

  Caso n che tende all'infinito.Vedremo infine come, al crescere di n, il grafico tenda ad una Gaussiana, ad andamento molto irregolare. Questo andamento diventa più uniforme per valori di D bassi rispetto ad N.

Il calcolo delle frequenze.

Introduciamo la tabella TQ che contiene i V valori di Qε[0,n]. Definiremo TQ usando l'assegnazione ":=" o assegnazione "ritardata". Essa rimanda il calcolo di TQ al momento in cui definiremo anche Q.

I valori di Q vengono quindi riportati all'intervallo [0,1] (dividendo per n). Moltiplicando per il numero di divisioni, e troncando la parte decimale, si trasforma ogni valore appartenente all'i-esimo sottointervallo in i. A questo punto, un grafico delle frequenze può essere ottenuto contando quante volte compare i.

Studio di una variabile casuale

Esempio 1

Consideriamo il caso n=1, con un numero di divisioni alto rispetto al numero dei valori. Otteniamo una linea molto irregolare.

Esempio 2

Consideriamo di nuovo il caso n=1, con un numero di divisioni più basso rispetto al numero dei valori. Otteniamo una linea ancora irregolare,
ma in cui si indovina già un andamento quasi costante.

Esempio 3

Consideriamo di nuovo il caso n=1, con un numero di divisioni ancora più basso rispetto al numero dei valori. Otteniamo una linea quasi piatta.

Studio di due variabili casuali

Esempio 4

Consideriamo il caso n=2, con un numero di divisioni alto rispetto al numero dei valori. Otteniamo una funzione (approssimativamente) crescente da 0 a Divisioni/2, e decrescente da Divisioni/2 fino a Divisioni. Entrambi gli andamenti (crescita, decrescita), sono molto irregolari.

Esempio 5

Consideriamo di nuovo il caso n=2, ma con un numero di divisioni più basso rispetto al numero dei valori. Otteniamo una funzione con andamento più chiaramente crescente da 0 a Divisioni/2, e decrescente da Divisioni/2 fino a Divisioni.

Esempio 6

Consideriamo di nuovo il caso n=2, con un numero di divisioni ancora più basso rispetto al numero dei valori. Otteniamo una funzione con andamento quasi lineare da 0 a Divisioni/2 (dove si trova un picco), e quasi lineare da Divisioni/2 fino a Divisioni.

Studio di molte variabili casuali

Esempio 7

Consideriamo ora il caso n=5, con un numero di divisioni alto rispetto al numero dei valori. Otteniamo un andamento simile a quello di una curva di Gauss, ma molto più irregolare.

Esempio 8

Consideriamo infine il caso n=5, con un numero di divisioni molto basso rispetto al numero dei valori. Otteniamo un andamento ora abbastanza vicino a quello di una curva di Gauss.