Esercizi Lezione 3: Grafica del piano.

36. Opzioni di stampa di un grafico. Il comando Plot[f[x],{x,a,b}] disegna il grafico di f[x] tra x=a ed x=b. La forma più generale del comando è
                      Plot[f[x],{x,a,b}, opzione_1->valore_1, ..., opzione_n -> valore_n]
Le "opzioni" sono scelte di modi con cui stampare un grafico. Ogni opzione ha diversi valori possibili, corrispondenti a diverse scelte. Normalmente ogni opzione ha un valore suo proprio, detto valore di default, ma scrivendo opzione->valore entro Plot[...] possiamo assegnarle temporaneamente un valore diverso. Vedremo ora diversi esempi di opzioni, che ci consentiranno di stampare un grafico in modo più comprensibile per chi deve leggerlo.

37. AspectRatio->x. Rende l'altezza del disegno pari a x volte la base. Se x=1 il disegno diventa quadrato. Tuttavia, la scala sugli assi x e y può essere diversa: questa opzione non ha nulla a che vedere con la scala usata sui due assi.
Ridisegnare sin(x) entro un quadrato.

37bis. PlotRange. PlotRange->{c,d} fa disegnare i soli valori della y compresi tra c e d: dunque disegna solo la parte del grafico tra le due rette orizzontali y=c ed y=d.
Ridisegnare sin(x) per x tra 0 e 2π, e per y tra -π e π.

37ter. Stessa scala negli assi x e y. Per avere la stessa scala sui due assi occorre scegliere AspectRatio -> Automatic.
  Ridisegnare sin(x) in un rettangolo [-10,10]x[-5,5], usando la stessa scala per x e y .

39. Colori. Si costruiscono con la funzione RGBColor[r,g,b], che fornisce un miscuglio di r parti di red (rosso), g parti di green (verde), b parti di blue (blu). r,g,b sono valori tra 0 e 1.
Altre funzioni disponibili sono CMYKColor[c,m,y,k], che fornisce un miscuglio di turchino (cyan), cremisi (magenta), giallo (yellow), black (nero), GrayLevel[g], che fornisce una gradazione di grigio, Hue[h] che fornisce i colori dell'arcobaleno. Gli argomenti sono valori tra 0 e 1: dunque RGBColor[1,0,0] ha 1 parte di rosso (Red), 0 di verde (Green), 0 di blu (Blue). Invece RGBColor[1,1,0] ha 1 parte di rosso (Red), 1 di verde (Green), 0 di blu (Blue).
Provare a definire alcuni colori: red, green, blue, ... , mescolando i colori rosso, verde e blu in diverse proporzioni, e usando RGBColor.

Ci sono molti colori predefiniti. Per un elenco, cercate nell'Help/MasterIndex alla voce "Color". Le definizioni dei colori vengono aggiunte a Mathematica con il comando: <<Graphics`Colors`

40. PlotStyle. PlotStyle->colore consente di fissare il colore del disegno.
Come esempio, ridisegnare sin(x) in rosso, verde e blu.

45.Grafici di più funzioni. Per i grafici di più funzioni, è sufficiente fornire a Plot la lista di funzioni da disegnare. Disegnate il grafico di sin(x), cos(x), tan(x) in colori diversi (è sufficiente assegnare a PlotStyle la lista {col_1, ..., col_n} dei colori).

46.Grafici di più tabelle. Il comando per disegnare grafici di più liste contemporaneamente non appartiene alla versione di base di Mathematica. E' tuttavia possibile aggiungerlo. Date il comando:
                       <<Graphics`MultipleListPlot`
L'effetto è aggiungere alla versione di base di Mathematica il comando MultipleListPlot[l1, l2, l3, ..., opzioni], che consente di disegnare simultaneamente i grafici di l1, l2, l3, ... .

47. Provate a disegnare più liste l1, l2, l3 contemporaneamente (scegliete esempi molto corti) usando MultipleListPlot[l1,l2,l3, opzioni]. Provate anche a colorare l1, l2, l3 in modo diverso (è sufficiente assegnare a PlotStyle una lista di colori). Un'altra opzione utile è PlotJoined->True, che connette i punti di l1, l2, l3 tramite una linea spezzata, rendendoli più visibili.

Un errore comune. Attenti a non usare MultipleListPlot[.] prima di aver caricato il pacchetto relativo. In tal caso, MultipleListPlot[.] viene classificato come variabile e non può più essere utilizzato come comando. Se vi capita, uscite e rientrate da Mathematica per ripulire la memoria.

60. Approssimazione o Fit. Mathematica ha un comando,Fit[.[, che dato un vettore cerca di indovinare la formula che lo genera: in un certo senso, Fit[.] è l'inverso di Table[.], che data una formula genera una lista seguendo tale formula. Fit fornisce una soluzione approssimata, ha bisogno di una lista di suggerimenti {f[i],g[i],h[i],...} e di una variabile i. Fit usa il metodo dei minimi quadrati. Il comando
                                         Fit[L, {f[i], g[i], h[i],...}, i]  
definisce la migliore formula, tra quelle della forma (a*f[i] + b*g[i] + c*h[i] + ...), in grado di ricostruire (approssimativamente) L.
Definire un vettore V, e, usando il comando Fit[.,.,.], cercare la funzione costante e1, la retta e2, e la parabola e3 che meglio approssimano i dati contenuti in V.

61. Definite tre tabelle, V1, V2, V3, che contengano i cinque valori di e1, e2, e3 per x=1, ..., 5.
V1, V2, V3 contengono cinque valori che approssimano i cinque valori di V.

62. Confrontate il grafico di V con quello V1, V2, V3, usando MultipleListPlot.

Complementi: Statistica e Curva di Gauss.

Questa sottosezione va omessa in prima lettura: contiene spiegazioni su come usare comandi elementari di statistica, ed è rivolta a studenti della metà del primo anno, che già conoscano l'argomento.

50. Statistica. Aggiungiamo a Mathematica dei comandi che consentono un'analisi statistica di un vettore di valori numerici. E' sufficiente scrivere:
<<Statistics`DescriptiveStatistics`

51. Scegliamo un vettore di valori numerici a caso, come:
V = {0.71, 1.02, 1.33, 1.59, 1.99}.
Definite e disegnate V.

52. Media. Calcolate il valor medio  di V con il comando Mean[.].

53. Deviazione standard e varianza. La deviazione standard è una sorta di "deviazione media dal valor medio", e si calcola con StandardDeviation[.]. La varianza è il quadrato della deviazione standard, e si calcola con Variance[.].

54.Eseguite i calcoli relativi a V.

55. Distribuzioni normali o di Gauss. Aggiungete a Mathematica le funzioni che trattano le distribuzioni di probabilità normali o di Gauss. E' sufficiente scrivere:
<<Statistics`NormalDistribution`.

56. Costruzione di una distribuzione di probabilità "a campana" o di Gauss. Definite, usando il comando NormalDistribution[m,σ], una distribuzione di probabilità di Gauss di media 0 e deviazione 1.
(Attenzione: d non è ancora la funzione di probabilità associata alla distribuzione, costruire quest'ultima richiederà un altro comando.)

57. Definite la funzione di probabilità f, nella variabile x, associata alla distribuzione. Usate il comando PDF[.,.]; prima "ripulite", per sicurezza, il valore di x.

58. Quindi fatene il grafico.

59. Ripulite ora i valori di d ed f.