Spezzate periodiche

Un bell'esempio di disegno matematico: spezzate generate dal movimento di un punto del piano che si muove seguendo una legge molto semplice. Il risultato saranno disegni imprevedibilmente intricati, e non privi di un loro fascino.

Spezzate - Introduzione

Definizione di Spezzata periodica. Per spezzata periodica nel piano cartesiano intendiamo una spezzata in cui  le lunghezze dei segmenti siano periodiche, di periodo n, e in cui ogni segmento sia ruotato rispetto al precedente di un angolo  fisso a.
Una spezzata è quindi individuata quando sia noto la lista V={,,...,} delle lunghezze (che si ripeteranno periodicamente) dei suoi segmenti, e il suo angolo a di rotazione. Supporremo che l'angolo a, espresso in gradi, sia un intero. Chiamiamo componente della spezzata il gruppo di n segmenti che si ripete periodicamente. Chiameremo V "il vettore delle mosse" della spezzata.

Primo esempio. Consideriamo la spezzata che parte dall'origine degli assi,  ha segmenti  sempre lunghezza 1, e con angolo di rotazione a = 90 gradi. La lista delle mosse da ripetersi periodicamente sarà dunque V = {1}. La spezzata ottenuta è il perimetro di un quadrato. Una componente della spezzata è semplicemente un lato del quadrato.

  Spezzate periodiche e aperiodiche. La condizione su a fa sì che gli angoli di rotazione dei segmenti  siano periodici, di periodo T (con T=1 se a=0, e T=(MCM(a,360)/a)  altrimenti). Allora dopo U = MCM(n,T) punti la spezzata ritorna all'inizio  del periodo di angoli e lunghezze. Questo ci lascia 2 possibilità.
    1. Se ciò avviene nel punto dove la spezzata ha avuto inizio, allora  ogni nuovo segmento coinciderà con un segmento visto in precedenza, e  quindi la figura descritta dalla spezzata è completa dopo U segmenti.  Si può provare che, in tal caso, la figura è composta di U/n  componenti uguali, di n punti ciascuna, concatenate, disposte lungo un  cerchio a intervalli regolari. La successione di tali componenti può  fare il giro del cerchio anche più volte.
   2. Se ciò  avviene di un punto traslato di un vettore v non nullo rispetto al punto di  origine, allora ogni U punti la spezzata si sposterà di tale vettore  v. In questo caso, la figura descritta dalla spezzata è illimitata,  composta di infinite componenti tutte uguali, di n punti ciascuna, disposte  lungo una semiretta.

Condizione di periodicità. Esiste una semplice condizione per decidere se una spezzata è  periodica o no.
Se terminata la prima componente la spezzata ritorna al punto di partenza, la spezzata è periodica: le diverse componenti avranno la stessa origine, e si differenzieranno solo in base al loro angolo iniziale. Questo caso è molto improbabile.
Supponiamo che ciò non accada. Allora dopo ogni componente la spezzata avrà curvato di un angolo b = (a*n), e si sarà spostata di una lunghezza l>0.  Se b = (a*n) non è l'angolo nullo (se il periodo dell'angolo a non divide n), allora gli estremi di ogni componente si sposteranno ogni volta di un angolo b e di una lunghezza l. Si può provare che in questo caso gli estremi delle componenti si disporrannno lungo un cerchio, ripetendosi periodicamente. La spezzata sarà dunque periodica.  Questo è il caso più probabile.
Infine, se b = a*n = angolo nullo, allora gli estremi di ogni componente si sposteranno ogni volta di una lunghezza l lungo la stessa (semi)retta. In tal caso la spezzata sarà non periodica. La condizione di non  periodicità è difficile da soddisfare, pertanto una spezzata  scelta a caso sarà quasi sempre periodica.