Sul moto dei gravi in un campo gravitazionale

Di seguito si affronteranno alcuni aspetti circa il moto di un corpo lanciato nel campo gravitazionale terrestre. Lo studio della legge del moto verrà fatta con alcune ipotesi semplificative: si suppone la terra piana, il sistema di riferimento inerziale (cioè si trascurano gli effetti sul moto della rotazione della terra), la massa del grave concentrato nel suo baricentro e la forza d'attrito dell'aria, ove presente, indipendente dalla forma dell'oggetto.
L'equazione del moto di un grave di massa m si scrive:

        m= m +

Supponiamo che l'effetto della resistenza dell'aria possa essere apprezzato come una forza che dipende da una certa potenza p del modulo della velocità. Poichè questa forza si oppone al moto, possiamo scrivere:

        = - γ

dove γ > 0 e è il versore del vettore = + + , quindi

        = - γ

Nel caso p = 1, essendo = - γ ( + ) e in un sistema in cui l'asse verticale z sia rivolto verso l'alto, sotto forma scalare l'equazione si riduce

        

a cui possiamo associare le seguenti condizioni iniziali (ic)

        x(0) = 0
        z(0) = 0
        (0) = cos(α)
        (0) = sin(α)

dove è il modulo del vettore . Nel caso p = 2 avremo

        = - γ

e razionalizzando otteniamo

        = - γ
            
            = - γ

L'equazione del moto diventa

        m( + ) = - mg - γ · ( + )

o, sotto forma scalare

        

Se il grave viene lanciato verticalmente (α = ), i due sistemi di equazioni per p = 1 e p = 2 si semplificano e diventano rispettivamente

                per p = 1
        
            per p = 2
              

N.B.: questa scrittura non è equivalente a ed è preferibile a quest'ultima, in quanto tiene conto del verso della velocità iniziale e della natura vettoriale della velocità stessa.
Per fare in modo che la abbia sempre segno contrario alla velocità (cioè al verso del moto), si potrebbe usare

        [v_] := - γ Sign[]

cosicchè, in un sistema in cui l'asse z sia rivolto verso l'alto (↑), la relazione precedente ci restituisce

     se v ↑ allora - γ (+1) = - γ
    se v ↓ allora - γ (-1) = + γ


I casi che verranno trattati sono i seguenti:

			2 1

e i principali problemi trattati sono i seguenti:

Nel presente notebook verranno introdotti i seguenti comandi di generale utilita:
    Solve, DSolve, NDSolve, Join, Simplify, Plot, Plot3D, ListPlot, ParametricPlot, D, FindRoot, Solve, Needs, Evaluate, Table, Date, Show
ed opzioni come:
    AxesLabel, PlotRange, PlotLabel, Epilog, PlotStyle, AxesOrigin, Frame, GridLines

KEYWORDS:  gittata grave attrito proiettile Galileo Galilei