Frattali come figure autosimili

Le figure geometriche possono imitare la complessità della natura, o quella delle arti decorative? Una figura geometrica può rivaleggiare in complessità con l'intrico degli steli di un arbusto, o con i fili sottili di una nube scompaginata dal vento? Il profilo di una linea costiera può essere frastagliato da baie, promontori e e fiordi; questi ultimi a loro volta possono essere frastagliati da baie, promontori e fiordi più piccoli, e così via. Ci sono coste così irregolari che nessun tratto di esse, per quanto breve, può dirsi una linea retta. Nella foto di un fiume impetuoso, o di una spirale di fumo, vediamo in ogni punto dell'immagine vortici, spirali e correnti più piccole, di andamento differente da quello complessivo. Disegni altrettanto complessi si trovano nelle arti. Pensiamo a cancellate o ringhiere laboriosamente intrecciate, di stile monumentale francese (uno stile del tardo ottocento); oppure alle lettere miniate, incredibilmente ricche di minutissimi dettagli, di certi manoscritti medioevali.

Esistono in geometria, e sono state scoperte in tempi relativamente recenti, figure che possono rivaleggiare in complessità con quelle ricordate sopra, e che in una certa misura ce le fanno venire in mente: sono i Frattali. In questa breve nota non intendiamo introdurre l'argomento in profondità. Piuttosto, faremo vedere come si possano definire Frattali di un tipo particolarmente semplice, ma che comprende già figure affascinanti, usando una tecnica detta dell'autosomiglianza. Spiegheremo inoltre come la dimensione dei frattali piani, per definizione, non sia nè zero (come per i punti), nè uno (come per le linee), nè due (come per le superfici), ma un numero non intero. Proprio questa caratteristica suggerisce una spiegazione all'aspetto frastagliato e tentacolare dei frattali.

Per una introduzione più approfondita ai Frattali rimandiamo ad uno dei tanti libri sull'argomento, quale: Peitgen, Richter, "La Bellezza dei Frattali", Bollati Boringhieri, prima edizione 1987.

§ 0. Figure Autosimili.

In questa sezione spieghiamo cosa sono le figure simili, le figure autosimili, e come possano essere generate. Nelle prossime vedremo esempi di figure autosimili, prima elementari, poi via via più elaborati. Rimandiamo la definizione di cosa sia un Frattale al fondo della Sezione 1; a quel punto spiegheremo anche come le figure autosimili siano un caso  (particolarmente semplice) di Frattale.

Figure simili. Due figure F, G "hanno la stessa forma", o, in termini più precisi, sono simili, se si possono ottenere l'una dall'altra mediante un numero qualunque di mosse seguenti:
- traslazione orizzontale;
- traslazione verticale;
- rotazione intorno ad un punto;
- ingrandimento o rimpicciolimento di un fattore dato;
- ribaltamento.
Due figure sono simili se, e solo se, hanno gli stessi angoli e gli stessi rapporti tra lunghezze. Per esempio, tutti i quadrati sono simili, perchè tutti i quadrati hanno quattro angoli retti e i lati uguali tra loro; se due triangoli sono simili, e uno ha la base doppia dell'altezza, anche l'altro ha la base doppia dell'altezza; e così via. Non sempre due figure simili si possono portare a sovrapporre semplicemente facendole scivolare sul piano e dilatandole: per esempio, le lettere p e q sono simili, ma per sovrapporre una p ad una q dobbiamo ribaltarla.

  Figure Autosimili. Sia F una figura piana limitata (inclusa in una parte finita del piano). Diciamo che F è autosimile se F è l'unione di figure , ..., , tutte più piccole di F ma "aventi la stessa forma di F", ovvero tutte simili ad F.Chiamiamo , ..., copie o componenti di F.

Scriveremo ora un programma per generare figure autosimili F, a partire da una descrizione della lista , ..., di copie di F stesso di cui F è composto. Potrete utilizzare questo programma solo se disponete di una versione di Mathematica da 3.0 in su. Se avete il gusto della sfida, potete provare a tradurre lo stesso programma in un qualunque linguaggio che disponga di un pacchetto di grafica (tenete presente che si tratta di un lavoro molto impegnativo!). Conoscere il programma usato non è indispensabile: potete saltare subito alla Sezione 1.

Dimensione di una figura autosimile. Alla fine della Sezione 1, spiegheremo inoltre come la dimensione di una figura autosimile, in genere, non sia nè zero (come per i punti), nè uno (come per le linee), nè due (come per le superfici), ma un numero non intero. Negli esempi che considereremo noi, si tratterà in genere un valore tra 1 e 2. Proprio questa caratteristica suggerisce una spiegazione all'aspetto frastagliato e tentacolare dei frattali.

§ 1. Frattali elementari: linee, triangoli e quadrati.

In questa Sezione diamo alcuni semplici esempi di autosomiglianza, più che altro per spiegare il concetto. Alla fine della Sezione spieghiamo cos'è la dimensione di una figura autosimile. Nelle Sezioni successive, invece, utilizzeremo l'autosomiglianza per generare figure via via più elaborate e intricate, che ci richiameranno alla mente immagini della Natura e delle Arti.

Frattali. La Dimensione di una figura autosimile. Perchè le figure Autosimili sono Frattali.

Curiosamente, la dimensione di una figura autosimile spesso non è un numero intero. Per definizione, figure la cui dimensione non è un numero intero vengono dette Frattali. Vediamo ora cos'è la dimensione di una figura, e perchè una figura autosimile ha spesso una dimensione non intera, e quindi, spesso, è un Frattale.

Dimensione di una figura autosimile. Diciamo che una figura F ha dimensione d se per qualche numero A>0, il numero di quadratini di lato 1/X necessari a coprire F è A.

Un segmento ha dimensione 1. Per esempio, in base a questa definizione, un segmento S di lunghezza 10 ha dimensione d=1. Occorrono A=10 quadratini di lato X=1 per coprire S. Un semplice calcolo ci mostra che per coprire S occorrono 10*2 quadratini di lato 1/2, e 10*3 quadratini di lato 1/3, e 10*5 quadratini di lato 1/5. Più in generale, per coprire S occorreranno 10*X = 10* quadratini di lato 1/X. Dunque, a norma della nostra definizione, la dimensione di S è d=1.

  Un Rettangolo ha dimensione 2. Sempre in base a questa definizione, la dimensione di un rettangolo R di lati 10x15 è d=2. Infatti occorrono A=10*15 quadratini di lato X=1 per coprire R. Un semplice calcolo ci mostra che questa volta per coprire R occorrono (10*15)*(2*2) quadratini di lato 1/2, e (10*15)*(3*3) quadratini di lato 1/3, e (10*15)*(5*5) quadratini di lato 1/5. Più in generale, per coprire R occorreranno (10*15)* quadratini di lato 1/X. Dunque, a norma della nostra definizione, la dimensione di R è d=2.

La dimensione di una figura autosimile non è intera. Questa stessa definizione può essere usata per mostrare che la dimensione di una figura autosimile in genere non è intera. Prendiamo l'esempio della curva di Von Koch: si tratta di una figura autosimile F, unione di quattro figure , , , simili ad F, ma ciascuna di base solo un terzo della base di F.
Tesi. Supponiamo che F abbia una dimensione d (è vero, ma noi non lo controlleremo). Allora la dimensione di F deve essere d = (4) = 1.26186 ..., un numero non intero tra 1 e 2.
Dimostrazione. Se F ha dimensione d, per coprire F occorrono A quadratini di lato 1/X. Allora per coprire ciascuna delle , , , che sono simili ad F ma hanno base un terzo di quella di F, basterà un numero uguale di quadratini di lato tre volte più piccolo, cioè di lato 1/(3X). Dunque 4 volte A quadratini di lato 1/(3X), ovvero:  4A quadratini bastano a coprire F. Per definizione di diminesione, inoltre, F può essere coperta da A quadratini di lato 1/(3X). I due numeri di quadratini necessari per coprire F che abbiamo ottenuto, 4A e A, devono essere uguali:
          4A = A
Da questa equazione otteniamo, usando la proprietà delle potenze = , quindi dividendo prima per A, e poi per , un'altra equazione più semplice:
          4 =
Questa equazione ha, per definizione, soluzione d = (4) = 1.26186 ....

Delle formule per calcolare la dimensione di una figura autosimile. Generalizzando il ragionamento visto qui sopra, otteniamo le seguenti formule.

(1) Se una figura autosimile F è unione disgiunta (senza sovrapposizioni) di sue copie , ... , , e ognuna di esse è U volte più piccola di F, allora la dimensione di F è d = (n).
(2) Se F è unione con eventuali sovrapposizioni di , ... , , ed ogni è U volte più piccola di F, allora F ha dimensioni d <= (n).
(3) Se F contiene (eventualmente, senza esserne completamente ricoperta) n copie disgiunte , ... , di se stessa, allora F ha dimensioni d >= (n).

In generale, le formule qui sopra consentono solo di calcolare limitazioni inferiori e superiori alla dimensione di F, raramente il valore esatto. Inoltre non si applicano nel caso il rapporto tra le lunghezze di F e quelle di , ... , non sia sempre uguale. In questo caso si usa una formula più generale, che non includiamo qui.

La dimensione del Triangolo di Serpinski. Il Triangolo di Serpinski è unione disgiunta di tre copie di se stesso, entrambe con base due volte più piccola. Sostituendo n=3, U=2 nella formula qui sopra, otteniamo d =  (3) = 1.58496... .

La Dimensione dei Quadrati Frattali. Un quadrato frattale Q è composto di quattro copie di se stesso, , , , , di base due volte più piccola, disposte al partire dal centro di Q, e ruotate di 90 gradi l'una dall'altra. Se , , , , non sono ruotate rispetto a Q, allora , , , non sono sovrapposte tra loro. Sostituendo n=4, U=2 nella formula qui sopra, otteniamo d =  (4) = 2. Infatti Q in questo caso è un quadrato, dunque una figura di dimensioni 2. Non siamo riusciti a calcolare la dimensione quando , , , sono ruotate rispetto a Q (o forse non abbiamo avuto la pazienza necessaria ...). Sospettiamo che essa sia di poco inferiore a 2, a causa delle (poche) sovrapposizioni tra , , , .

La dimensione del Discontinuo di Cantor. Il Discontinuo di Cantor è unione disgiunta di due copie di se stesso, entrambe con base tre volte più piccola. Sostituendo n=2, U=3 nella formula qui sopra, otteniamo d =  (2) = 0.63093.... In generale, però, le formule qui sopra consentono solo di calcolare limitazioni inferiori e superiori alla dimensione di F, non il valore esatto della dimensione.

Come sono fatte le figure di dimensione non intera? In questa sezione abbiamo visto vari esempi di figure di dimensionsione compresa tra 1 (la dimensione di un segmento) e 2 (la dimensione di un quadrato).
Una figura di dimensione prossima a 2 (tipo il Triangoli di Serpinski, o megli ancora il Quadrato Frattale) si presenta come una figura di dimensione 2 a cui siano stati praticati infiniti fori di dimensioni via via più piccole, in modo da disporne infiniti a una distanza infinitamente piccola da ogni punto della figura, senza tuttavia cancellarla completamente. Questa infinita "porosità" fa sì che la figura non raggiunga la dimensione 2.
Una figura di dimensione di poco maggiore di 1 (tipo la curva di Von Koch) si presenta come una linea infinitamente frastagliata, a cui siano stati aggiunti delle punte o dei filamenti, che a loro volta presentino punte o filamenti più piccoli, e così via. Questo infinito sistema di "tentacoli" fa sì che la dimensione della figura superi l'uno.
Infine, figure di dimensioni inferiori ad 1 (ne abbiamo visto un solo esempio,, il Discontinuo di Cantor) si presentano come linee infinitamente "porose", i cui "fori" o "varchi" infinitamente fitti fanno scendere la dimensione al di sotto dell'uno (pur senza farla scendere fino a 0, la dimensione dei punti).

§ 2. Frattali elaborati: piante, nuvole, forme bizzarre.

Dividiamo i frattali elaborati in due gruppi. Nel primo, che mostriamo in questa Sezione, abbiamo incluso tutte le forme che richiamano alla mente (pur senza corrispondervi perfettamente) forme naturali: alberi, polvere, fumo, nuvole e così via. Nel secondo gruppo, incluso nella prossima Sezione, includeremo tutte le forme che richiamano lettere dell'afabeto miniate al modo dei medioevali. Questo secondo gruppo di forme ricorda i ghirigori che si ritrovano nelle cancellate variamente intrecciate, di moda alla fine 1800 o all'inizio del 1900.

§ 3. Frattali elaborati: le lettere dell'alfabeto.

Terminiamo con figure autosimili che richiamano lettere dell'afabeto miniate al modo dei medioevali. Questo gruppo di forme ricorda i ghirigori che si ritrovano nelle cancellate variamente intrecciate, di moda alla fine 1800 o all'inizio del 1900.